Question

由半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）与半椭圆

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0．由右椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的焦点F₀和左椭圆

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）的焦点F₁，F₂确定的△F₀F₁F₂叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的离心率的取值范围为（　　）

• A、(

  1

  3

  ，1)
• B、(

  2

  3

  ，1)
• C、(

  3

  3

  ，1)
• D、(0，

  3

  3

  )

Answer 1

分析：根据“果圆”关于x轴对称，得到△F₁F₀F₂是以F₁F₂为底面的等腰三角形，从而可得：若△F₀F₁F₂为锐角三角形，则|0F₀|＞|0F₁|．由此建立关于a、b、c的不等式，结合椭圆离心率的公式与离心率的取值范围解此不等式，即可算出右椭圆离心率的取值范围．

解答：解：连结F₀F₁、F₀F₂，
根据“果圆”关于x轴对称，可得△F₁F₀F₂是以F₁F₂为底面的等腰三角形，
∵△F₀F₁F₂是锐角三角形，
∴等腰△F₀F₁F₂的顶角为锐角，即∠F₁F₀F₂∈（0，

π

2

）．
由此可得|0F₀|＞|0F₁|，
∵|0F₀|、|0F₁|分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1、

x2

b2

+

y2

c2

=1的半焦距，
∴c＞

b2-c2

，平方得c²＞b²-c²，
又∵b²=a²-c²，∴c²＞a²-2c²，解得3c²＞a²，
两边都除以a²，得3•(

c

a

)2＞1，解之得

c

a

＞

3

3

．
∵右椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的离心率e=

c

a

∈（0，1），
∴所求离心率e的范围为（

3

3

，1）．
故选：C

点评：本题给出“果圆”满足的条件，求右椭圆离心率的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、不等式的解法等知识，属于中档题．