Question

如图，一个熟鸡蛋的轴截面由半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1（x＜0）合成（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁、A₂和B₁、B₂是轴截面与x，y轴的交点，阴影部分是蛋黄（球形）轴截面，若蛋黄的体积是

π

6

，F₁，F₂在蛋黄球面上，△F₀F₁F₂是等边三角形，则a，b的值分别为（　　）

• A、5，3
• B、

  3

  ，1
• C、

  7

  2

  ，1
• D、5，4

Answer 1

分析：由题意知|F₁F₂|=|F₁F₀|=|F₂F₀|=2

b2-c2

，

c

2 b2-a2

=cos30°，b=

2 3

3

c，再由蛋黄的体积是

π

6

，F₁，F₂在蛋黄球面上，知

4

3

π(

b2-a2

)3=

π

6

，由此可求出a和b．

解答：解：由题意知|F₁F₂|=|F₁F₀|=|F₂F₀|=2

b2-c2

，
∴

c

2 b2-a2

=cos30°，
∴b=

2 3

3

c∵蛋黄的体积是

π

6

，F₁，F₂在蛋黄球面上，
∴R=

b2-a2

，
∴

4

3

π(

b2-a2

)3=

π

6

，∴b²-c²=

1

4

，
∴

12

9

c2-c2=

1

4

，c2=

3

4

，b2=1，a2=

7

4

，
故a=

7

2

，b=1，
故选C．

点评：本题巧妙地把两个椭圆合二为一，具有一定的难度，解题时要熟练掌握椭圆的性质和公式．