Question

【题目】已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．
（Ⅰ）当 时，求直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交A，B两点．求证： 是定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 时，直线l的参数方程为 （t为参数）．
消去参数t，得 ．
∴直线l的普通方程为 ．
（Ⅱ）将直线方程消去参数t，得直线l的普通方程为y=（x﹣1）tanα．
又曲线C为：ρcos2θ+4cosθ=ρ
可化为4cosθ=ρsin2θ，
即ρ2sin2θ=4ρcosθ．
将 代入ρ2sin2θ=4ρcosθ，
得y2=4x，带入y=（x﹣1）tanα．
得tan2αx2﹣2（tan2α+2）x+tan2α=0，
则 ．注意到y1 ， y2的符号相反，
可知y1y2=﹣4．
从而有 （定值）
【解析】（Ⅰ）将 带入计算，消去t可得普通方程．（Ⅱ）将曲线C化为普通方程，把直线l的参数方程带入曲线C的普通方程，利用韦达定理求解即可．