Question

已知命题p：方程x²+ax-2a²=0在（-1，1）上有解；命题q：函数f（x）=log_a（x²-2ax+2）在[2，3]上单调递增，若命题“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：若p正确：方程x²+ax-2a²=0的解为2a或-a．若方程在（-1，1）上有解，只需满足-1＜2a＜1或-1＜-a＜1． 若q正确：则

a＞1 a 2 ≤2 4-2a+2＞0

或

0＜a＜1 a 2 ≥3 9-6a+2＞0

，即可解得．命题“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，可得命题p与q必然一真一假．

解答： 解：若p正确：方程x²+ax-2a²=0的解为2a或-a．
若方程在（-1，1）上有解，只需满足-1＜2a＜1或-1＜-a＜1． 即-1＜a＜1．
若q正确：则

a＞1 a 2 ≤2 4-2a+2＞0

或

0＜a＜1 a 2 ≥3 9-6a+2＞0

，解得1＜a＜

3

2

．
∵命题“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，
∴命题p与q必然一真一假．
若p真q假，则

-1＜a＜1 a≤1或a≥ 3 2

，∴-1＜a＜1．
若p假q真，有

a≤-1或a≥1 1＜a＜ 3 2

，解得1＜a＜

3

2

．
∴a的取值范围是-1＜a＜1或1＜a＜

3

2

．

点评：本题考查了对数函数的单调性、复合函数的单调性、二次函数与x轴的交点的情况、复合命题的真假判断，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．