Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-mx2+

3

2

mx，(m＞0)．
（1）当m=2时，
①求函数y=f（x）的单调区间；
②求函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f(x)＜mx2+(

3

2

m-3m2)x+

32

3

恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
②因为曲线f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为 f′（0），所以函数f（x）的图象在点（0，0）处切线方程可以用点斜式求得．
（2）因为函数f（x）既有极大值，又有极小值，则f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两个不同的根，有△＞0，再令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x求出导数，利用导数研究它的单调性及最值，从而求得m的取值范围．

解答：解：（1）当m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，则f'（x）=x²-4x+3，（1分）
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3（2分）
函数的单调递增区间是：（-∞，1），（3，+∞）函数的单调递减区间是：（1，3）（4分）
②f'（0）=3，
∴函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程为y=3x．（6分）
（2）因为函数f（x）既有极大值，又有极小值，则f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两个不同的根，
则有△=4m²-6m＞0，又m＞0，∴m＞

3

2

（8分）
令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x
g'（x）=x²-4mx+3m²=0?x=m，或x=3m，（10分）
∴g'（x）＞0?x＜m或x＞3m，g'（x）＜0?m＜x＜3m
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上为增函数，在（m，3m）上为减函数，（12分）
∴g(m)=

4

3

m3，g(3m)=0为g(x)的极值，又g(0)=0，g(4m)=

4

3

m3，
∴g（x）最大值为

4

3

m3，
∴

4

3

m3＜

32

3

?m＜2（13分）m的取值范围为

3

2

＜m＜2．（14分）

点评：本题考查的是利用导数求曲线的切线方程、函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．