题目内容
已知函数f（x）=ax3+48（a-2）x，a∈R．若f′（2）=-36
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．
考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）由f′（2）=3a•22+48（a-2）=-36，解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3-48x，因此f′（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4）令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），进而f（x）极大值=f（-4）=128，f（x）极小值=f（4）=-128．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3-48x，因此f′（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4）令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），进而f（x）极大值=f（-4）=128，f（x）极小值=f（4）=-128．
解答：
解：（Ⅰ）∵f′（2）=3a•22+48（a-2）=-36，
解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3-48x，
∴f′（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4）
令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，
令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4，
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）极大值=f（-4）=128，f（x）极小值=f（4）=-128．
解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3-48x，
∴f′（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4）
令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，
令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4，
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）极大值=f（-4）=128，f（x）极小值=f（4）=-128．
点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．
练习册系列答案
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