Question

【题目】设为常数，函数.给出以下结论：

①若，则在区间上有唯一零点；

②若，则存在实数，当时， ；

③若，则当时，.

其中正确结论的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意可得f（x）过原点，求得f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断①；结合最小值小于0，以及x的变化可判断②③．

函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，

①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝ex（x﹣a+1），

即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，

可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣ea﹣1，

由ex≥x+1，可得a﹣ea﹣1＜0，又f(a)=a>0

则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；

②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，

且x→+∞时，f（x）→+∞，可得存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；

③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，

当x＜0时，f（x）＜0，故正确．

故选：D．