Question

如图，在三棱锥中，平面平面，于点，且，，

（1）求证：

（2）

（3）若，，求三棱锥的体积．

 

Answer 1

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由，，即可得到线段成比例，即得到直线平行，再根据直线与平面平行的判断定理即可得到结论.

（2）由平面平面，于点，并且AC是平面PAC与平面ABC的交线，根据平面垂直的性质定理即可得PD垂直平面ABC，再根据平面与平面垂直的判断定理即可得到结论.

（3）由即可得AC=3.又由，， 在三角形ABC中根据余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面积可以求出来，由于PD垂直于平面ABC所以PD为三棱锥的高，即可求得结论.

（1）， 2分

3分

（2）因为平面平面，

且平面平面，

平面，，

所以平面， 6分

又平面，

所以平面平面． 7分

（3）由（2）可知平面．

法一：中，，

由正弦定理，得，

因为，所以，则，因此， 8分

△的面积． 10分

所以三棱锥的体积． 12分

法二：中，，，由余弦定理得：

，所以，

所以． 8分

△的面积． 10分

所以三棱锥的体积． 12分

考点：1.线面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱锥的体积.