Question

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y₂随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）t天时进行第一次复习后的存留量是过点（t，），斜率为k=的直线，方程为，不复习时x 天后的存留量为，所以第一次复习后的存留量与不复习的存留量的差为y=y₂-y₁；把a=-1，t=5代入，整理可得所求．
（2）知识留存量函数y=+-（其中t＞4，且t、a是常数，x是自变量），当y取最大值时，求出对应的t、a取值范围．
解答：解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，
由题意知，，
所以，；
当a=-1，t=5时，=≤=，
当且仅当x=14时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
（2）知识留存量函数=
≤，
当且仅当时取等号，
由题意，所以-4＜a＜0．
点评：本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中构造条件，利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求最值，有些困难，属于较难题目．