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精英家教网心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1=
4
x+4
；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为
a
(t+4)2
(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．
分析：（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2-y1；把a、t代入，整理即得所求；
（2）求出知识留存量函数y=
a
(t+4)2
(x-t)+
8
t+4
-
4
x+4
（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．
解答：解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，
由题意，第一次复习后的存留量是y2=
a
(t+4)2
(x-t)+
8
t+4
(t＞4)，
不复习的存留量为y1=
4
x+4
；
∴y=y2-y1=
a
(t+4)2
(x-t)+
8
t+4
-
4
x+4
(t＞4)；
当a=-1，t=5时，y=
-1
(5+4)2
(x-5)+
8
5+4
-
4
x+4
=
-(x+4)
81
-
4
x+4
+1≤-2
4
81
+1=
5
9
，
当且仅当x=14时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
（2）知识留存量函数y=
a
(t+4)2
(x-t)+
8
t+4
-
4
x+4
=-
-a(x+4)
(t+4)2
-
4
x+4
+
8
t+4
-
a(t+4)
(t+4)2

≤-2
-4a
(t+4)2
+
8-a
t+4
，
当且仅当
-a(x+4)
(t+4)2
=
4
x+4
即x=
2
-a
(t+4)-4时取等号，
由题意
2
-a
(t+4)-4＞t，所以-4＜a＜0．
点评：本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2
ab
（a＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．
练习册系列答案
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心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则天后的存留量；若在天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时机点”.

（1）若，求“二次最佳时机点”；

（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求的取值范围.

 

 

 
心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

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