Question

如图，在圆锥中，已知，⊙O的直径，是的中点，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）根据题意，由于平面，则可以根据面面垂直的判定定理来得到。

（2）

【解析】

试题分析：解法1：（1）连结，因为，是中点，所以

又底面⊙O，底面⊙O，所以，                      2分

因为是平面内的两条相交直线，所以平面           4分

而平面，所以平面平面.                          6分

（2）在平面中，过作于，

由（1）知，平面平面平面=zxxk

所以平面，又面，所以

在平面中，过作于，连接，

平面，

从而，故为二面角的平面角                   9分

在

在

在

在

所以                    13分

故二面角的余弦值为                                  14分

解法2：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，则

，

                         2分

（1）设是平面的一个法向量，

则由，得

所以，取得                           zxxk    4分

设是平面的一个法向量，

则由，得

所以，取，得              6分

因为，所以

从而平面平面                                           8分

（2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为

由（1）知，平面的一个法向量为

设向量和的夹角为，则                 13分

所以二面角的余弦值为                                 14分

考点：面面垂直，二面角

点评：主要是考查了面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求解，属于基础题。