Question

18．如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BD的中点为O，连接AO，EO，证明AO⊥BD，CD⊥BD，EO⊥BD．推出BD⊥平面AOE，然后证明AE⊥BD．
（Ⅱ）利用三棱锥D-ABC与C-ABD的体积相等，求出S_△ABD，然后求解三棱锥C-ABD的体积即可．

解答 （Ⅰ）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，∵AB=AD，∴AO⊥BD，又∵E为BC的中点，∴EO∥CD，∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．…（3分）
∵OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE，又∵AE?平面AOE，∴AE⊥BD．…（6分）

（Ⅱ）解：由已知得三棱锥D-ABC与C-ABD的体积相等．…（7分）
∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$2\sqrt{3}$．
由已知可得：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•$\sqrt{A{D}^{2}-\frac{B{D}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}$．
∴三棱锥C-ABD的体积${V_{C-ABD}}=\frac{1}{3}×CD×{S_{△ABD}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以，三棱锥D-ABC的体积为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查转化思想以及计算能力，空间想象能力．