Question

【题目】已知函数，.

（1）若，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三个不同实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）奇函数；（2）0；（3）.

【解析】

（1）由判断即可得解；

（2）由分段函数求值域问题分，，，，讨论即可；

（3）由方程与函数的关系可得有三个不同实根，等价于函数与直线有三个交点，通过求函数的单调性及值域即可得解.

解：（1）当时，，

则，

故为奇函数；

（2）当时，，

又，

①当时，可得函数在为增函数，可得；

②当时，可得函数在为增函数，在为减函数，

由，

可得当时，，即；

当时，，即；

③当时，由，可得；

综上可得：当时，函数在上的最小值为；

当时，函数在上的最小值为；

当时，函数在上的最小值为；

当时，函数在上的最小值为即；

（3）因为，且有三个不同实根，

则函数不单调，且，

因为，又，，

所以当时，函数为增函数，则时，函数不单调，要使函数有三个不同实根，则，即，即，

故，

故的取值范围为：.