Question

【题目】已知函数的图像与轴相切，.

（1）求证：；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出的导数，设的图象与x轴相交于点，可得，解方程可得，原不等式等价于，设，求出导数和单调区间，可得极值、最值，即可得证；
（2）设，求出导数，运用（1）的结论可得单调递增，再由不等式的性质可得，即，再运用的单调性和不等式的性质，证得，进而证得右边不等式.

（1）由题得，设的图像与轴相切于点，则

，即，解得，

所以，则，即为.

设，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以，即，

所以；

（2）先证，设，则，

由（1）可知，当时，，从而有，所以单调递增.

又，从而有，即，

所以，即.

再证，因为

，

又由（1）知，，故在单调递增，

则，即，所以.

又，所以.

综上可知，.