Question

（理）已知函数，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是f（x）图象上两点．
（1）若x₁+x₂=1，求证：y₁+y₂为定值；
（2）设，其中n∈N*且n≥2，求T_n关于n的解析式；
（3）对（2）中的T_n，设数列{a_n}满足a₁=2，当n≥2时，a_n=4T_n+2，问是否存在角a，使不等式…对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题：y₁=f（x₁），y₂=f（x₂），将f（x₁）和f（x₂）用函数表达式代入，利用对数的运算法则将它们相加，再化简可得y₁+y₂=log₂2=1（定值），问题得证；
（2）根据（1）的结论可得：，因此可以将T_n按倒序的方法相加的排列，再将此式与原表达式相加，最后配成n-1对数的和，每一对数的和都等于1，因而可得；
（3）将不等式的两边都乘以，可得左边等于…，在（2）的基础上可得f（n）各项为正数，因此用作商相除的方法探求其单调性．证到，可得f（n+1）＜f（n），所以f（n）随着n的增大而减小．不等式变形为f（1）＜sinα对一切n∈N*恒成立，得到＜sinα，因此可得角α的取值范围．
解答：解：（1）当x₁+x₂=1时，=，所以y₁+y₂为定值1．…（4分）
（2）由（1）得，（k=1，2，…，n-1），…（6分）
所以，，
又 ，
于是2T_n=（n-1）×1，所以（n∈N*，n≥2）．…（10分）
（3）由已知，a_n=2n，n∈N*．…（11分）
由…，得…，
令…，则由题意可得f（n）＞0，
于是
==＜1
所以f（n+1）＜f（n），即f（n）随着n的增大而减小．…（15分）
所以当n∈N*时，f（n）的最大值为，
若存在角α满足要求，则必须．…（16分）
所以角α的取值范围为，（k∈Z）…（18分）
点评：本题是一道综合题，解题的过程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法证明数列的单调性和证明不等式恒成立等等知识点，属于难题．本题对函数与数列的一些高级处理有比较高的要求，考查的知识点与方法较多，综合性较强．