Question

【题目】已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，，当，且满足时，求的面积的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为，所以是线段的中点，所以是的中位线，

又所以，所以，（2分）

又点在椭圆上，所以 ①，

又 ②，①②联立解得，，

所以所求椭圆的标准方程为．（4分）

（2）因为直线与圆相切，所以，即，

联立，消去，可得．（6分）

设，，因为直线与椭圆交于不同的两点，，所以，

即，即，故．

由根与系数的关系可得，，

所以，（8分）

又，所以，

因为，所以，解得，

所以．（10分）

设，则，，

显然关于的函数在定义域内单调递增，

所以，即．

故的面积的取值范围为．（12分）