题目内容

定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px
1
p
-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设
1
p
+
1
q
=1，证明：ab≥
ap
p
+
bq
q
．
分析：（1）先求导函数f′(x)=x
1
p
-1-1，从而可确定函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在x=1时，取得最大值，即可求解；
（2）利用（1）中的最大值可得不等式px
1
p
-x-p+1≤0．设x=
ap
bq
，代入不等式，再利用
1
p
+
1
q
=1，即可证得．
解答：解：（1）f′(x)=x
1
p
-1-1．∵
1
p
-1＜0，∴由f'（x）=0，得x=1．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 -
f（x） ↗ 极大 ↘
又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值为p-1．
（2）由（1）得px
1
p
-x-p+1≤0．
设x=
ap
bq
，则p•
a
b
q
p
-
ap
bq
-p+1≤0，即
a
b
q
p
-
1
p
•
ap
bq
-1+
1
p
≤0，
∴
a
b
q
p
-
1
p
•
ap
bq
≤1-
1
p
=
1
q
，
∴
a
b
q
p
≤
1
p
•
ap
bq
+
1
q

∴abq-
q
p
≤
ap
p
+
bq
q
，
将
1
p
+
1
q
=1代入，得ab≤
ap
p
+
bq
q
．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的最值，同时考查了不等式的证明，解题的关键是利用（1）的结论构造不等式，利用换元法求解．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
（2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）
填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为
1
9
1
9
．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）设向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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