Question

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，cos2

B

2

=

4

13

，sinA=

4

5

．
（1）求cosB的值；
（2）当△ABC外接圆半径为13时，求c边的长．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cosB后，将已知的cos²

B

2

的值代入即可求出cosB的值；
（2）由（1）求出的cosB的值为负数，得到B为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，同时得到A为锐角，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，根据C=π-（A+B），得到cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各种的值代入求出cos（A+B）的值，进而得到cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由sinC及外接圆半径的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）∵cos2

B

2

=

4

13

，
∴cosB=2cos2

B

2

-1=-

5

13

；
（2）由（1）得到cosB=-

5

13

＜0，则B为钝角，
∴sinB=

1-cos2B

=

12

13

，
又B为钝角，则A为锐角，且sinA=

4

5

，
∴cosA=

1-sin2A

=

3

5

，
∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=

63

65

，
∴sinC=

1-cos2C

=

16

65

，
根据正弦定理

c

sinC

=2R，又R=13，
则c=2RsinC=

416

65

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，诱导公式及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．