Question

如图，已知P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA₁，其中k为非零实数，
（1）求证：A₁E∥平面PBC；
（2）当k=

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

分析：依题意，设此棱柱的高AA₁=2，则AB=2k，以O为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标：（1）取BC中点F，得

PF

=

A1E

，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）求平面PBC的法向量，利用向量夹角公式计算

PA

与法向量夹角的余弦值，其绝对值即为线面角的正弦值；（3）利用重心坐标公式计算三角形PBC重心的坐标，可知若O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，当且仅当

OM

•

PB

=0，列方程即可解得k值

解答：解：设此棱柱的高AA₁=2，则AB=2k，如图建立空间直角坐标系：
则P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A₁（k，-k，2），A（k，-k，0），
E（k，0，0）
∴

BC

=（-2k，0，0），

PB

=（k，k，-2），

A1E

=（0，k，-2），

PA

=（k，-k，-2）
（1）取BC中点F（0，k，0）
则

PF

=（0，k，-2）
∴

PF

=

A1E

∴A₁E∥PF，PF?面PBC，A₁E?面PBC
∴A₁E∥平面PBC
（2）当k=

2

时，∴

BC

=（-2

2

，0，0），

PB

=（

2

，

2

，-2），

PA

=（

2

，-

2

，-2）
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • BC =-2 2 x=0 n • PB = 2 x+ 2 y-2z=0

∴取

n

=（0，

2

，1）
∴cos＜

PA

，

n

＞=

PA • n

| PA |×| n |

=

0-2-2

2+2+4 0+2+1

=-

2

6

=-

6

3

设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=

6

3

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

（3）设△PBC的重心坐标为M（x，y，z），则
x=

0+k-k

3

=0，y=

0+k+k

3

=

2k

3

，z=

2+0+0

3

=

2

3

∴M（0，

2k

3

，

2

3

）
∴

OM

=（0，

2k

3

，

2

3

）
且

OM

•

BC

=0，即OM⊥BC
若OM⊥平面PBC，
则

OM

•

PB

=

2k

3

×k+

2

3

×(-2)=0
解得k=±

2

∴k=±

2

时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心

点评：本题综合考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，利用空间向量和空间直角坐标系求空间直线与平面所成的角的方法