Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂∶x²＝4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且

(I)求椭圆C₁的方程；

(II)已知点P(1，3)和圆O∶x²＋y²＝b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足∶，(λ≠0且λ≠±1)，求证∶点Q总在某条定直线上．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解法一∶令M为，因为M在抛物线上，

　　故，①又，则　②

　　由①②解得，

　　椭圆的两个焦点为，，点M在椭圆上，由椭圆定义，得

　　

　　，又，

　　椭圆的方程为

　　解法二∶同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即

　　又，即，解得

　　椭圆的方程为

　　(2)证明∶设，，

　　由，可得

　　即

　　由，可得

　　即

　　⑤×⑦得，　⑥×⑧得

　　两式相加，得

　　又点A，B在圆上，，且

　　即，故点Q总在直线上