Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆的上、下焦点，其中F₁也是抛物线的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
解法二：同解法一求出点M的坐标，再利用椭圆的标准方程及参数a，b，c的关系即可求出．
（2）方法一：利用已知向量相等及点A，B在圆上满足圆的方程即可证明；
方法二：利用向量相等、直线与圆相交问题得到根与系数的关系即可证明．
解答：解：（1）解法一：令M为（x，y），因为M在抛物线C₂上，故，①
又，则②
由①②解得，
椭圆C₁的两个焦点为F₁（0，1），F₂（0，-1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF₁|+|MF₂|=
∴a=2，又c=1，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C₁的方程为．
解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即，
又c=1，即b²=a²-1，解得a²=4，b²=3∴椭圆C₁的方程为．
（2）证明：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y）
由，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），
即
由，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），

⑤×⑦得，⑥×⑧得
两式相加，得
又点A，B在圆x²+y²=3上，∴，且λ≠±1
即x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上
方法二：
由，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），∴，
由，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），∴，
∴，∴（*）
当斜率不存在时，由特殊情况得到，
当斜率存在时，设直线为y=k（x-1）+3，
∴，
代入（*）得，而y=k（x-1）+3，消去k，得x+3y=3
而满足方程，∴Q在直线x+3y=3上．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．