Question

若tanα=3tanβ，且0≤β＜α＜

π

2

，则α-β的最大值为

π

6

．

Answer 1

分析：利用α-β的正切与tanα=3tanβ，可求得关于tanβ的关系式，利用基本不等式可求得tan（α-β）的最大值，再由正切函数的单调性即可求得答案．

解答：解：∵tanα=3tanβ，又0≤β＜α＜

π

2

，
∴tanβ＞0，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2tanβ

1+3tan2β

=

2

1 tanβ +3tanβ

．
∵tanβ＞0，
∴3tanβ+

1

tanβ

≥2

3

，
∴0＜

2

1 tanβ +3tanβ

≤

2

2 3

=

3

3

，
∴0＜tan（α-β）≤

3

3

．又y=tanx在（0，

π

2

）上单调递增，
∴0＜α-β≤

π

6

．
故答案为：

π

6

．

点评：本题考查两角差的正切函数及正切函数的单调性，考查基本不等式，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．