题目内容
若有0＜γ＜β＜α＜
，则tan2α+
+(tanα-3tanγ)2的最小值是 ．
| π |
| 2 |
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
分析：由三角恒等变换公式，化简原式的第二项得
=
，利用基本不等式算出当且仅当tanα=2tanβ时
的最小值为
，从而得到tan2α+
≥tan2α+
≥8．再由（tanα-3tanγ）2≥0，可得当tanα=3tanγ时（tanα-3tanγ）2的最小值为0，即得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=
时，tan2α+
+(tanα-3tanγ)2的最小值为8..
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
| 4 |
| tanβ(tanα-tanβ) |
| 4 |
| tanβ(tanα-tanβ) |
| 16 |
| tan2α |
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
| 16 |
| tan2α |
| 2 |
| 3 |
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
解答：解：∵sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
∴
=
=
∵0＜β＜α＜
∴tanβ（tanα-tanβ）≤[
]2=
tan2α
当且仅当tanβ=tanα-tanβ，即tanα=2tanβ时等号成立
因此，tan2α+
≥tan2α+
=tan2α+
又∵tan2α+
≥2
=8
∴tan2α+
≥8，当且仅当tan2α=
时，即tanα=2时等号成立
又∵（tanα-3tanγ）2≥0
∴结合0＜γ＜α＜
，可得当且仅当tanα=3tanγ时，（tanα-3tanγ）2的最小值为0
综上所述，可得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=
时，
tan2α+
+(tanα-3tanγ)2的最小值为8．
故答案为：8
∴
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
| 4cosαcosβ |
| tanβ(sinαcosβ-cosαsinβ) |
| 4 |
| tanβ(tanα-tanβ) |
∵0＜β＜α＜
| π |
| 2 |
∴tanβ（tanα-tanβ）≤[
| tanβ+(tanα-tanβ) |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
当且仅当tanβ=tanα-tanβ，即tanα=2tanβ时等号成立
因此，tan2α+
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
| 4 | ||
|
| 16 |
| tan2α |
又∵tan2α+
| 16 |
| tan2α |
tan2α•
|
∴tan2α+
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
| 16 |
| tan2α |
又∵（tanα-3tanγ）2≥0
∴结合0＜γ＜α＜
| π |
| 2 |
综上所述，可得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=
| 2 |
| 3 |
tan2α+
| 4cosαcosβ |
| tanβsin(α-β) |
故答案为：8
点评：本题给出α、β、γ满足的条件，求关于三个角的三角函数式的最小值．着重考查了三角恒等变换、利用基本不等式求最值和不等式等价变形等知识，属于中档题．
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