Question

【题目】下列四个命题：①当为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为；④已知双曲线 ，其离心率，则的取值范围是.

其中正确命题的序号是___________．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断①的真假；

②根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出②的真假；③由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得③的真假；④根据双曲线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出④的真假.

①因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故①正确；

②因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故②正确；

③抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故③正确；

④因为为双曲线，所以，又离心率为，

所以，解得，故④正确.

故答案为①②③④