Question

如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系．求得B、C、D、O、M、N各点的坐标，从而得出、、、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法解方程组，得到平面OCD的法向量为=（0，1，1），再计算出•═0，可得⊥，结合MN是平面OCD外的直线，得到直线MN∥平面OCD；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法解方程组，得到平面DMN的法向量=（1，2，4），再结合空间点到平面距离公式，可算出点B到平面DMN的距离．
解答：解：（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系
可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）
∴=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）
设平面OCD的法向量为=（x，y，z），
由，得
取y=1，得z=1，x=0，所以平面OCD的法向量为=（0，1，1），
∴•=2×0+1×1+（-1）×1=0，可得⊥
又∵MN?平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD；
（II）设平面DMN的法向量=（x'，y'，z'），
由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得
，得
取x'=1，得平面DMN的法向量=（1，2，4），
∴点B到平面DMN的距离为：d=
点评：本题在特殊四棱锥中，证明线面平行并求点到平面的距离，着重考查了利用空间坐标系，结合向量数量积运算的方法证明线面平行和求点到平面距离等知识点，属于中档题．