Question

（2009•闸北区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0°＜θ≤90°）．
（1）若θ=90°，求二面角A-PC-B的大小；
（2）试求四棱锥P-ABCD的体积V的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：PA=

1

AC

=

2

2

，距离空间直角坐标系，再分别求出两个平面的法向量，然后利用空间向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
（2）由已知可得，平行四边形ABCD的面积为：S=sinθ，再由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA=

1

2-2cosθ

，进而表示出棱锥的体积，再结合三角的有关求出体积的范围．

解答：解：（1）因为PA⊥平面ABCD，并且θ=90°，
所以以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
因为AB=1，PA•AC=1，
所以PA=

1

AC

=

2

2

，
所以A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

2

2

），B（1，0，0），
设平面PBC的法向量为：

n1

=（x，y，z），
因为

BC

=（0，1，0），

PB

=（1，0，-

2

2

），
所以

BC • n1 =0 PB • n1 =0

，即

y=0 x- 2 2 z=0

，
取平面PBC的法向量为：

n1

=(

2

2

，0，1)，
根据题意可得：平面PAC的法向量

n2

=(1，-1，0)，
所以二面角A-PC-B的平面角α=arccos

n1 • n2

| n1 |•| n2|

=arccos

6

6

．
所以所求二面角A-PC-B的大小为arccos

6

6

．
（2）由已知可得，平行四边形ABCD的面积为：S=sinθ，
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，
∴PA=

1

2-2cosθ

，
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

∵0°＜θ≤90°，
∴0≤cosθ＜1．
∴

2

6

≤V＜

1

3

．
所以四棱锥V-ABCD的体积V的取值范围是[

2

6

，

1

3

)．

点评：本题主要考查二面角的平面角与棱锥的体积公式，此题求棱锥的体积关键是根据题意求出棱锥的高，并且 考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．