Question

武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（如图所示，单位：摄氏温度，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）求出一天（t∈[0，24]，单位小时）温度的变化在[20，25]时的时间．

Answer 1

解：（Ⅰ）由条件可知解得，
因为×=14-6，所以ω=，
∴y=10sin（x+φ）+20；
将点（6，10）代入上式，得φ=．
∴解析式是y=10sin（x+）+20．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），令20≤10sin（x+）+20≤25，
得0≤sin（x+）≤．
∴2kπ≤x+≤2kπ+，…①
或2kπ+≤x+≤2kπ+π，…②
由①得16k-6≤x≤16k-6+．取k=1，得10≤x≤11+．
由②得16k+≤x≤16k+2．取k=0，得≤x≤2；
取k=1，得16+≤x≤18．
即一天温度的变化在[20，25]时的时间是0：40～2：00，10：00～11：20，16：40～18：00三个时间段，共4小时…（12分）
分析：（Ⅰ）由题意可得，从而可求得A，b，再有函数图象可知其周期为16，从而可求得ω，进一步可求得φ，于是可求得这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）依题意可得0≤sin（x+）≤，结合正弦函数的图象与性质有2kπ≤x+≤2kπ+，或2kπ+≤x+≤2kπ+π，分别对k赋值即可求得答案．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的图象与性质，赋值法的应用是难点，属于中档题．