Question

（2012•武昌区模拟）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（如图所示，单位：摄氏温度，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）求出一天（t∈[0，24]，单位小时）温度的变化在[20，25]时的时间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

A+b=30 A-b=10

，从而可求得A，b，再有函数图象可知其周期为16，从而可求得ω，进一步可求得φ，于是可求得这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）依题意可得0≤sin（

π

8

x+

3π

4

）≤

1

2

，结合正弦函数的图象与性质有2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+

π

6

，或2kπ+

5π

6

≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+π，分别对k赋值即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知

A+b=30 A-b=10

解得

A=10 b=20

，
因为

1

2

×

2π

ω

=14-6，所以ω=

π

8

，
∴y=10sin（

π

8

x+φ）+20；
将点（6，10）代入上式，得φ=

3π

4

．
∴解析式是y=10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），令20≤10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≤25，
得0≤sin（

π

8

x+

3π

4

）≤

1

2

．
∴2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+

π

6

，…①
或2kπ+

5π

6

≤

π

8

x+

3π

4

≤2kπ+π，…②
由①得16k-6≤x≤16k-6+

4

3

．取k=1，得10≤x≤11+

1

3

．
由②得16k+

2

3

≤x≤16k+2．取k=0，得

2

3

≤x≤2；
取k=1，得16+

2

3

≤x≤18．
即一天温度的变化在[20，25]时的时间是0：40～2：00，10：00～11：20，16：40～18：00三个时间段，共4小时…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的图象与性质，赋值法的应用是难点，属于中档题．