Question

（2013•浙江模拟）设0＜m＜

1

3

，若

1

m

+

3

1-3m

≥k恒成立，则k的最大值为

12

．

Answer 1

分析：根据题意，原不等式恒成立即（

1

m

+

3

1-3m

）_min≥k恒成立．设

1

3

-m=n，不等式的左边化为

1

m

+

1

n

，利用“1的代换”和基本不等式，求出当且仅当m=n=

1

6

时

1

m

+

1

n

的最小值为12，由此即可得到实数k的最大值．

解答：解：∵

3

1-3m

=

1

1 3 -m

，∴设

1

3

-m=n，得

1

m

+

3

1-3m

=

1

m

+

1

n

∵m+n=

1

3

，可得3（m+n）=1，∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）•3（m+n）=3（2+

n

m

+

m

n

）
又∵0＜m＜

1

3

，得m、n都是正数，∴

n

m

+

m

n

≥2

n m • m n

=2
因此，

1

m

+

1

n

=3（2+

n

m

+

m

n

）≥3（2+2）=12
当且仅当m=n=

1

6

时，

1

m

+

3

1-3m

=

1

m

+

1

n

的最小值为12
又∵不等式

1

m

+

3

1-3m

≥k恒成立，∴12≥k恒成立，可得k的最大值为12
故答案为：12

点评：本题给出含有字母参数的不等式，在不等式恒成立的情况下求参数k的取值范围，着重考查了利用基本不等式求最值、和函数最值的应用等知识点，属于中档题．