Question

已知：f（2x）=2f（x），当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，则当x∈（2^m-1，2^m]（m∈Z）时f（x）=

 

．

Answer 1

分析：利用f（2x）=2f（x）对f（x）进行变形，缩小自变量的值，最终变到能利用已知表达式为止，此时可求f（x）．

解答：解：由f（2x）=2f（x），得：当x∈（2^m-1，2^m]（m∈Z）时，
f（x）=f（2×

x

2

）=2f（

x

2

）=2²f（

x

22

）=…=2^m-1f（

x

2m-1

），
∵x∈（2^m-1，2^m]，∴

x

2m-1

∈（1，2]，
又x∈（1，2]时，f（x）=2-x，所以f（

x

2m-1

）=2-

x

2m-1

，
∴f（x）=2^m-1f（

x

2m-1

）=2^m-x．
故答案为：2^m-x．

点评：本题考查函数值的求解，考查分析问题、解决问题的能力，解决本题关键是对f（x）恰当变形，借助已知表达式求值．