Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），从而求得a的取值范围．
（2）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出实数b的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

a

∴f（x）在区间(

2

a

，+∞)上单调递增，在区间(0，

2

a

)上单调递减
∴当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值ymin=a+aln

2

a

-2
由于对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln

2

a

-2＞2(a-1)
解得0＜a＜

2

e

，故a的取值范围是(0，

2

e

)
（2）依题意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=

x2+x-2

x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范围是(1，

2

e

+e-1]．

点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于中档题．