题目内容
已知四点O（0，0），
，M（0，1），N（0，2）．点P（x，y）在抛物线x2=2y上（Ⅰ）当x=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）当点P（x，y）（x≠0）在抛物线x2=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线
所得的弦长；ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．
【答案】分析：（Ⅰ）当x=3时，
，
，
，把直线PN：
代入x2=2y，得
，由此入手能求出∠POQ=90°．
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为
，
，
所以圆的半径
，圆心到直线
的距离
，由此能求出截得的弦长．
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．证明：
，y'=x，
，所以切线l的方程为
，令y=0，得
，所以点B的坐标为
，点B到直线PA的距离为
，再求出直线PF的方程（x2-1）x-2xy+x=0，
所以点B到直线PF的距离为
，由此知∠FPB=∠BPA．
解答：解：（Ⅰ）当x=3时，
，
，
直线PN：
代入x2=2y，得
，
，
所以
，
=
，
所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为
，
，
所以圆的半径
，
圆心到直线
的距离
；
故截得的弦长
（10分）
（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．（11分）
证明：
，y'=x，
，
所以切线l的方程为
，即
令y=0，得
，所以点B的坐标为
（12分）
点B到直线PA的距离为
，
下面求直线PF的方程
因为
，所以直线PF的方程为
，
整理得（x2-1）x-2xy+x=0
所以点B到直线PF的距离为
，
所以d1=d2
所以∠FPB=∠BPA（15分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
，，，把直线PN：代入x2=2y，得，由此入手能求出∠POQ=90°．（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为
，，所以圆的半径
，圆心到直线的距离，由此能求出截得的弦长．（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．证明：
，y'=x，，所以切线l的方程为，令y=0，得，所以点B的坐标为，点B到直线PA的距离为，再求出直线PF的方程（x2-1）x-2xy+x=0，所以点B到直线PF的距离为
，由此知∠FPB=∠BPA．解答：解：（Ⅰ）当x=3时，
，，直线PN：
代入x2=2y，得，，所以
，=，所以∠POQ=90°（5分）
（Ⅱ）ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为
，，所以圆的半径
，圆心到直线
的距离；故截得的弦长
（10分）（Ⅱ）总有∠FPB=∠BPA．（11分）
证明：
，y'=x，，所以切线l的方程为
，即令y=0，得
，所以点B的坐标为（12分）点B到直线PA的距离为
，下面求直线PF的方程
因为
，所以直线PF的方程为，整理得（x2-1）x-2xy+x=0
所以点B到直线PF的距离为
，所以d1=d2
所以∠FPB=∠BPA（15分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
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