Question

14．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₁₀₀₆-1）³+2014（a₁₀₀₆-1）=1，（a₁₀₀₉-1）³+2014（a₁₀₀₉-1）=-1，则（　　）

• A． S₂₀₁₄=2014，a₁₀₀₉＞a₁₀₀₆
• B． S₂₀₁₄=2014，a₁₀₀₉＜a₁₀₀₆
• C． S₂₀₁₄=-2014，a₁₀₀₉＞a₁₀₀₆
• D． S₂₀₁₄=-2014，a₁₀₀₉＜a₁₀₀₆

Answer 1

分析 根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式结合已知得答案．

解答 解：∵（a₁₀₀₆-1）³+2014（a₁₀₀₆-1）=1＞0，（a₁₀₀₉-1）³+2014（a₁₀₀₉-1）=-1＜0，
∴a₁₀₀₆＞1，a₁₀₀₉＜1，即a₁₀₀₉＜a₁₀₀₆，
设a=a₁₀₀₆-1，b=a₁₀₀₉-1，
则a＞0，b＜0，
则条件等价为：a³+2014a=1，b³+2014b=-1，
两式相加得a³+b³+2014（a+b）=0，
即（a+b）（a²-ab+b²）+2014（a+b）=0，
∴（a+b）（a²-ab+b²+2014）=0，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，-ab＞0，
即a²-ab+b²+2014＞0，
∴必有a+b=0，
即a₁₀₀₆-1+a₁₀₀₉-1=0，
∴a₁₀₀₆+a₁₀₀₉=2，即a₁₀₀₆+a₁₀₀₉=a₁+a₂₀₁₄=2，
∴S₂₀₁₄=$\frac{2014（{a}_{1}+{a}_{2014}）}{2}$=2014．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，考查了公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）的应用，是中档题．