Question

函数f（x）=的零点个数为

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   无数个

Answer 1

B
分析：根据函数的解析式，分类讨论，当x≤0时，f（x）=x+cosx，求导，判断导数的符号，确定函数的单调性，根据f（0）=1＞0，x→-∞时，f（x）→-∞，从而求得函数零点的个数；当x＞0时，f（x）=，求导，判断导数的符号，确定函数的单调性和极值，根据f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→+∞，从而求得函数零点的个数．
解答：当x≤0时，f（x）=x+cosx，
f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（0）=1＞0，x→-∞时，f（x）→-∞，
∴f（x）在（-∞，0）上有一个零点；
当x＞0时，f（x）=，
f′（x）=x²-4=0，
解得x=2或x=-2（舍），
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
且f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）上有两个零点；
综上函数f（x）=的零点个数为3个，
故选B．
点评：此题考查了函数零点问题，函数的零点个数问题实际上就是函数图象与x轴的交点个数问题，体现了转化的思想，利用导数研究函数的单调性和极值，从而确定函数的零点个数等基础题，同时考查了知识的灵活运用和运算能力．