Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的方程是．

（）如果圆与直线没有公共点，求实数的取值范围；

（）如果圆过坐标原点，过点直线与圆交于， 两点，记直线的斜率的平方为，对于每一个确定的，当的面积最大时，用含的代数式表示，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由可得，圆与直线无公共点，

∴，即，所以；（2）圆过坐标原点，可得，圆方程为，圆心，半径为，设直线的方程为，∴当最大时， 取最大值．只需点到直线的距离，可得或，对讨论两种情况，可得，两段分别求出最大值，较大的就是的最大值

试题解析：（ ）由可得，

∵，表示圆，

，即，

又∵圆与直线无公共点，

∴，即，

综上， ．

（）∵圆过坐标原点，

∴，圆方程为，

圆心，半径为，

当时，直线经过圆心，

不存在，故．

由题意设直线的方程为，

的面积为，

则，

∴当最大时， 取最大值．

当，只需点到直线的距离等于，

即．

整理得： ，

解出或．

①当时， 最大值为，

此时，即．

②当时， ，

∵是上的减函数，

∴当最小时， 最大，

过作于点，则，

∴当最大时， 最小，

∵，且，

∴当最大时， 取得最大值，即最大，

∵，

∴当时， 取得最大值，

∴当面积最大时，直线的斜率，

∴，

综上， ，

∴当时， ，

当或时， 取得最大值，

当时， ．

∴综上所述， ．