Question

【题目】已知函数f（x）=ax3﹣6x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，则a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣4）
B.（4，+∞）
C.（﹣∞，﹣4 ）
D.（4 ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣12x2+1=0，解得x=± ，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去； 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0， ）		（ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＜0，列表如下：

x	（﹣∞， ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，∴极小值f（ ）=a（ ）3﹣6（ ）2+1＞0，
化为a2＞32，
∵a＜0，∴a＜﹣4 ．
综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣4 ）．
故选：C．