Question

给出下列四个命题：
①
②，使得成立；
③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一 点，取得的点到距离大小1的概率为；
④在中，若，则是锐角三角形，
其中正确命题的序号是             

Answer 1

①②④

试题分析：①设f（x）=，则设f′（x）=，当x≥1时，f′（x）=≥0，

故f（x）=，在[1，+∞）上是增函数，∴当x≥1时，f（x）≥f（1），即≥0，∴同理，当x＜1时，也有．∴成立．①是正确命题；②将=1代入：＜0，将=2代入＞0，故，使得成立．②是正确命题；③已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P=．③是不正确命题；④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，④是正确命题．
其中正确命题的序号是 ①②④．
点评：本题以命题真假为背景，主要考查了几何概型、三角形的形状判断、导数等知识