Question

已知四面体A-BCD，AB=4，CD=2，AB与CD之间的距离为3，则四面体ABCD体积的最大值为

4

．

Answer 1

分析：作BE平行CD，且BE=CD，连接CE，AE，四面体ABCD的体积=四面体ADBE的体积，由AB与CD之间的距离为3，知四面体ADBE以△ABE为底时的高h=3，要使四面体ADBE体积最大，则△ABE面积要最大，当∠ABE=90°时，△ABE的面积取最大值S=4．由此能求出四面体ABCD体积的最大值．

解答：解：如图，作BE平行CD，且BE=CD，连接CE，AE，


∵BE∥CD，且BE=CD，
∴BECD是平行四边形，
∴A-BDE与A-BCD等底同高，
∴四面体ABCD的体积=四面体ADBE的体积，
∵BE∥CD，
∴AB与CD的公垂线一定垂直面ABE，
∵AB与CD之间的距离为3，
∴四面体ADBE以△ABE为底时的高h=3，
要使四面体ADBE体积最大，则△ABE面积要最大，
∵S△ABE=

1

2

 AB•BE•sin∠ABE
=

1

2

×4×2×sin∠ABE
=4sin∠ABE．
∴当∠ABE=90°时，△ABE的面积取最大值S=4．
∴四面体ABCD体积的最大值=四面体ADBE体积最大值=

1

3

•Sh=

1

3

×4×3=4．
故答案为：4．

点评：本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地通知等价转化．