题目内容
10．若曲线C1：$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），曲线C2：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosϕ}\\{y=bsinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ为参数），以O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α与C1，C2分别交于P，Q两点，当α=0时，|PQ|=2，当$α=\frac{π}{2}$时，P与Q重合．（Ⅰ）把C1、C2化为普通方程，并求a，b的值；
（Ⅱ）直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）与C2交于A，B两点，求|AB|．
分析 （Ⅰ）消去参数，即可把C1、C2化为普通方程，当$α=\frac{π}{2}$时，P与Q重合，即可求a，b的值；
（Ⅱ）把直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）与C2联立，利用弦长公式直接求解|AB|．
解答 解：（Ⅰ）C1：x2+y2=1，C2：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
当α=0时，P（1，0），Q（a，0）∴|PQ|=a-1=2，a=3
当$α=\frac{π}{2}$时，P与Q重合，
∴b=1，C2：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…．（5分）
（Ⅱ）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$得 $5{t^2}-10\sqrt{2}t+1=0$
∴${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$，${t_1}{t_2}=\frac{1}{5}$
∴|AB|=$|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
点评 本题考查参数方程与才的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．
练习册系列答案
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| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | $\frac{2}{3}$ |
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