Question

已知m∈{z|-1＜z＜1,z≠0}，设p:y=mx+2 004的值随x的增大而增大；q:不等式x+|x-2m|＞1的解集为R.当p、q有且只有一个正确时，求实数m的取值范围.

Answer 1

思路分析：本题是函数、不等式与命题的综合题，涉及到函数的单调性和把不等式转化成求函数的最小值的问题，要解此题可以先分q和p正确与否，然后求出m的范围.

解：首先研究q，∵x+|x-2m|=,

∴x+|x-2m|的最小值是2m.

又∵不等式x+|x-2m|＞1的解集为R,

∴2m＞1,

∴m＞.

结合m∈{z|-1＜z＜1,z≠0}知，q正确时，＜m＜1;q不正确时，-1＜m≤且m≠0.

其次研究p，y=mx+2 004的值随x的增大而增大，m＞0，反之m≤0.

所以p正确时0＜m＜1，p不正确时-1＜m＜0.

综上可知，当p正确q不正确时,0＜m≤.

当p不正确q正确时,m∈.

所以m的取值范围是{m|0＜m≤}.

    方法归纳 解答这类问题时要尽量把命题简化，再根据题设条件，推出所有可能的情况.