题目内容

已知中心在原点的椭圆的一个焦点，又过点，且离心率满足，，成等比数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.

 解：（1）∵成等比数列　∴　

设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

 即为所求椭圆方程。…………5分

（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴

因此可设的方程为：由

　 ①

方程①有两个不等的实数根

∴　②…………………………7分

设两个交点、的坐标分别为　∴

∵线段恰被直线平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或

∴直线的倾斜角范围为 ……………………………………15分

 

练习册系列答案
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已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，
2
），且过点A(1，
2
)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．
已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F（4，0），长轴端点到较近焦点的距离为1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）为椭圆上不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若x1+x2=8，在x轴上是否存在一点D，使|
DA
|=|
DB
|若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．
（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于
1
2
，则C的方程是（　　）
已知中心在原点的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
3
2
．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相较于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程，请说明理由．．
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（
15
，0），直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（　　）
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1

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