Question

已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，且a_n=7S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）设b_n=

1	log2an•log2an+1

，T_n是数列 {b_n}的前n项和，求T₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据n≥2，a_n=S_n-S_n-1，可得到数列{a_n} 的递推关系式，再化简，判断数列{a_n} 是等比数列，利用等比数列的通项公式求处即可．
（2）先根据（1）中求出的数列{a_n} 的通项公式，求出数列 {b_n}的通项公式，再利用裂项相消法，求出数列 {b_n}的前n项和，把n=10代入，即可得到T₁₀的值．

解答：解：（1）∵n≥2时，a_n=7S_n-1+2，∴a_n+1=7S_n+2，a_n+1-a_n=7a_n，
∴a_n+1=8a_n，（n≥2）
又a₁=2．∴a₂=16=8a₁．
a_n+1=8a_n，（n≥N^*）
∴数列{a_n}是一个以2为首项，8为公比的等比数列
∴数列a_n=2^3n-2
（2）b_n=

1

log2an•log2an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
∴Tn=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)=

1

3

(1-

1

3n+1

)∴T10=

10

31

点评：本题主要考查了递推公式求通项公式，以及裂项相消求和的应用．