Question

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（1）求证：数列{

1

an

-1}为等比数列；
（2）记Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1和a_n关系式进行化简，
（2）先由（1）得出数列{

1

an

}的通项公式，然后根据分组方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化简，再根据a+b≥2

ab

，确定是否存在．

解答：解：（1）∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，（2分）
∵

1

a1

-1≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N*)，（3分）
∴

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，
∴数列{

1

an

-1}为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1．（5分）Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=n+2(

1

3

+

1

32

++

1

3n

)=n+2•

1 3 - 1 3n+1

1- 1 3

=n+1-

1

3n

，（7分）
若S_n＜100，则n+1-

1

3n

＜100，∴n_max=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵an=

3n

3n+2

，∴(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=(

3s

3s+2

-1)2．（12分）
化简得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵3m+3n≥2•

3m+n

=2•3s，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）

点评：本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法，综合性很强，本题要注意a+b≥2

ab

运用，本题有一定难度．