Question

直线y=

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2

x+4与抛物线x²=8y交于A、B两点，点M（x₀，y₀）（x₀＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点．
（1）求点M的坐标；
（2）求△ABM的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线x²=8y得：其准线为y=-2，焦点为（0，2），根据点M（x₀，y₀）（x₀＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点，可得M到准线距离为4，从而可知M的纵坐标为2，代入抛物线x²=8y方程知横坐标为4，从而可求点M的坐标；
（2）由直线y=

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2

x+4与抛物线x²=8y得点A、B坐标分别为（-4，2）（8，8）．由于M和A关于y轴对称，所以可设△ABM的外接圆方程为x²+（y-b）²=r²，代入A、B 两点坐标得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

，从而可求△ABM的外接圆方程．

解答：解：（1）由抛物线x²=8y得：其准线为y=-2，焦点为（0，2）
∵点M（x₀，y₀）（x₀＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点
∴M到准线距离为4，
∴M的纵坐标为2，代入抛物线x²=8y方程知横坐标为4，
故点M的坐标为（4，2）
（2）由直线y=

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2

x+4与抛物线x²=8y得点A、B坐标分别为（-4，2）（8，8）．
由于M和A关于y轴对称，所以可设△ABM的外接圆方程为x²+（y-b）²=r²，
代入A、B 两点坐标得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

∴b=9，r²=65，
所以△ABM的外接圆方程为x²+（y-9）²=65

点评：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的定义，考查三角形外接圆的求解，解题的关键是正确运用抛物线的定义．