Question

已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以∠B_n为顶角的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n，
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代数式表示）；
（3）设数列{

1

S2n-1S2n

}前n项和为T_n，判断T_n与

8n

3n+4

（n∈N^*）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由数列的函数特性，要证明数列{y_n}是等差数列，我们可以根据已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，进而给出数列{y_n}的通项公式，利用通项公式法证明．
（2）由已知易得

xn+xn+1

2

=n，进一步可以证明数列{x_n}所有的奇数项成等差数列，所有的偶数项也成等差数列，由等差数列的性质易得A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），结合（1）的结论和三角形面积公式，即可给出S_2n-1的表达式．
（3）由（2）的结论，易给出数列{

1

S2n-1S2n

}前n项和为T_n的表达式，利用裂项求和法，化简T_n的表达式再与

8n

3n+4

进行比较，即可得到结论．

解答：解：（1）由于点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y=

1

2

x+1上，
则yn=

1

2

n+1，
因此yn+1-yn=

1

2

，所以数列{y_n}是等差数列；
（2）由已知有

xn+xn+1

2

=n，那么x_n+x_n+1=2n，同理x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上两式相减，得x_n+2-x_n=2，
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，成等差数列；x₂，x₄，x₆，…，x_2n，也成等差数列，
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=2n+a-2，x_2n=x₂+（n-1）×2=（2-a）+（n-1）×2=2n-a，
点A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），
则|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，
而yn=

1

2

n+1，
∴S2n-1=S△A2n-1B2n-1A2n=

1

2

×2(1-a)×y2n-1=(1-a)y2n-1=(1-a)×

2n+1

2

；
（3）由（2）得：S2n=S△A2nB2nA2n+1=

1

2

×2a×y2n=ay2n=a(n+1)，
则S2nS2n-1=

a(1-a)(n+1)(2n+1)

2

≤(

a+1-a

2

)2×

(n+1)(2n+1)

2

=

(n+1)(2n+1)

8

而S_2nS_2n-1＞0，则Tn≥

n

k=1

8

(k+1)(2k+1)

，
即Tn≥

n

k=1

16

(2k+2)(2k+1)

=16

n

k=1

(

1

2k+1

-

1

2k+2

)
∴Tn≥16((

1

3

-

1

4

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

2n+1

-

1

2n+2

))
∴Tn≥16((

1

3

+

1

4

)+(

1

5

+

1

6

)++(

1

2n+1

+

1

2n+2

)-2(

1

4

+

1

6

++

1

2n+2

))
∴Tn≥16(

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

-

1

2

)
由于

1

n+2

+

1

2n+2

＞2

1 (n+2)(2n+2)

，
而

(n+2)(2n+2)

＜

n+2+2n+2

2

=

3n+4

2

，
则

1 (n+2)(2n+2)

＞

2

3n+4

，从而

1

n+2

+

1

2n+2

＞

4

3n+4

，
同理：

1

n+3

+

1

2n+1

＞

4

3n+4

?

1

2n+2

+

1

n+2

＞

4

3n+4

?
以上n+1个不等式相加得：2(

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

)＞

4(n+1)

3n+4

即

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

＞

2(n+1)

3n+4

，
从而Tn＞16(

2(n+1)

3n+4

-

1

2

)=

8n

3n+4

．

点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．