Question

设函数，g（x）=2x²+4x+c．
（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；
（2）若a=﹣1，当x∈[﹣3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意f'（x）=x²﹣2ax﹣a， 假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f'（﹣1）=1+2a﹣a=0，
∴a=﹣1， 而此时，f'（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．
这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；
（2）令f（x）=g（x），则有x³﹣x²﹣3x﹣c=0，
∴c=x³﹣x²﹣3x，
设F（x）=x³﹣x²﹣3x，G（x）=c，
令F'（x）=x²﹣2x﹣3=0，
解得x=﹣1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．
当x=﹣1时，F（x）取得极大值；
当x=3时，F（x）取得极小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．
如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，
所以，或c=﹣9．