Question

（2010•合肥模拟）已知函数f（x）=e^x-a（x-1），x∈R．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综合即可；
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），计算出切线斜率，写出切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式得到面积S（a）的表达式，最后利用基本不等式求此函数的最小值即可．

解答：解：（1）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调减	极小值	单调增

由此可得，函数有极小值且f（x）_极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由x=0，y=1+a，由y=0，x=

a+1

2(a-1)

∴S(a)=

1

2

(a+1)

a+1

2(a-1)

=

a2+2a+1

4(a-1)

=

(a-1)2+4a

4(a-1)

=

1

4

(a-1)2+4(a-1)+4

a-1

=

1

4

[(a-1)+

4

a-1

+4]≥

1

4

[2

(a-1) 4 a-1

+4]=2
当且仅当（a-1）²=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．

点评：考查利用导数研究函数的极值．解答关键是要对函数求导，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的极值和单调区间．