Question

1．已知点A（1，0），B（0，-1），P（λ，λ+1）（λ∈R）
（1）求证：∠APB恒为锐角；
（2）若四边形ABPQ为菱形，求$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{AQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量PA，PB的坐标，运用向量为锐角的条件，计算数量积，即可得证；
（2）利用菱形的定义可求得点P，Q的坐标，进而得出．

解答 解：（1）∵点P（λ，λ+1）
∴$\overrightarrow{PA}=（1-λ，-λ-1），\overrightarrow{PB}=（-λ，-2-λ）$，
∴$\overrightarrow{PA•}\overrightarrow{PB}=-λ（1-λ）+（-λ-1）（-2-λ）$=$2{λ^2}+2λ+2=2{（λ+\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{2}＞0$
∴cos∠APB＞0．若A，P，B三点在一条直线上，则$\overrightarrow{PA}∥\overrightarrow{PB}$，
得到（λ-1）（λ+2）=λ（λ+1），此方程无解，
∴∠APB≠0，
∴∠APB恒为锐角．
（2）∵四边形ABPQ为菱形，
∴$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{BP}}|$，
即$\sqrt{2}=\sqrt{{λ^2}+{{（λ+2）}^2}}$，
化简得到λ²+2λ+1=0解得λ=-1，
∴P（-1，0），
设Q（a，b），
∵$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BA}$，
∴（a+1，b）=（1，1），
∴a=0，b=1，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{AQ}=2$．

点评 本题考查向量的共线的坐标表示，以及向量的夹角为锐角的条件，考查向量模的公式的运用，考查运算能力，属于中档题．