Question

(本小题12分)若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．

(1) 判断函数的零点个数并证明你的结论；

(2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（12分）(1) 函数只有一个零点。

证明， ． 

当时，．当时，，此时函数递减；

 当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．

所以函数只有一个零点。

(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，

因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．

由，可得当时恒成立

， 由，得．

下面证明当时恒成立．令，

则， 当时，．

当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．

从而，即恒成立．

 ∴函数和存在唯一的隔离直线．

解法二： 由(1)可知当时， (当且当时取等号) ．

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，

使得和恒成立，

令，则且

，即．后面解题步骤同解法一．