Question

（本题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围。（O为坐标原点）

Answer 1

,

（1）依题意与轴交于点F₂（1，0）
即    （1分）
又
所以


所以椭圆C的方程为  （4分）
（2）依题意曲线的方程为
即圆  （5分）
因为直线与曲线相切，
所以，
即        （6分）
由
得
设
所以，
所以          （7分）
所以    （8分）
所以

又
所以  （9分）
所以
又
所以，
所以  （10分）
又
设
因为，所以

在上为递增函数，
所以  （12分）
又O到AB的距离为1，
所以
即的面积的取值范围为   （13分）